线段的垂直平分线

§22.5(2)线段的垂直平分线

教学目的：

1、以线段的垂直平分线为例学习定理和逆定理的知识。

2、掌握定理“线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等”，和

逆定理“和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”。

3、通过图形的运动来找出不同题目之间的联系，培养学生学习几何的兴趣。

难点与重点：

1、分清定理和逆定理的题设和结论，并正确应用。

2、综合分析“已知”、“求证”，找到解题的正确途径，培养学生学习几何的信心。

教学过程：

一．有关线段的垂直平分线的定理和逆定理：

1．画已知线段的垂直平分线。（工具：刻度尺，三角尺，笔）

线段是轴对称图形，线段的对称轴是它的垂直平分线（中垂线）。

2．设直线l是线段AB的垂直平分线，C是垂足，

点P是l上任意一点，连接PA、PB，那么PA与

PB是否相等呢？

（证明过程由学生完成）

于是，我们得到：定理  线段的垂直平分线上的点

3．这条定理的“题设”和“结论”是什么？

这条定理的逆命题是什么？

  如何证明这条定理的逆命题是真命题？

（证明过程由学生完成）

  注意：分清定理和逆定理的题设和结论，在证明

  过程中，一定要说清“已知”和“求证”

于是，我们得到：逆定理  和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。                                                

4．  的定理和逆定理可以知道，在AB的垂直平分线上的点和A、B两点的距离都相等；反过来，和A、B两点距离都相等的点都在AB的垂直平分线上。于是线段的垂直平分线可以看作是和这条线段的两个端点的距离相等的点的集合。

   [电脑演示]：三角形PCB沿直线l的翻折过程。

二．举例和练习：

例1   已知：如图，在 ABC中，OM是AB的垂直平分线，

OA=OC，求证：点O在BC的垂直平分线上。

∵OM是AB的垂直平分线（已知）

∴OA=OB（线段的垂直平分线上的点和这条线段的

两个端点的距离相等）

∵OA=OC（已知）

∴OB=OC（等量代换）

∴点O在BC的垂直平分线上（和一条线段的两个

端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）

练习1.证明三角形三边的垂直平分线必交于一点，这点到三角形三个顶点等距。

已知，如图： 中，OM、ON分别是边AB、AC的垂直平分线，且相交于点O，求证：点O在BC的垂直平分线上，且OA=OB=OC。

∵OM是AB的垂直平分线（已知）

∴OA=OB（                             

                                      ）

∵ON是AC的垂直平分线（已知）

∴OA=OC（                             

                                        ）

∴OB=OC（               ）

∴点O在BC的垂直平分线上（            

                                        ）

且OA=OB=OC

（分析：要证三角形三边的垂直平分线必交于一点，可先作两条边的垂直平分线，它们交于一点O，再证点O在第三边的垂直平分线上即可）

相关练习

如何找出一个点到如图的三个点

A、B、C的距离都相等。

（学生通过练习发现，只要连接AB、

AC，作它们的垂直平分线的交点即

可。）注意：线段的垂直平分线是一

条直线，图中，直线应向两端无限

延伸。

练习3.麦当劳餐饮有限公司准备在公路上开一家分店，公路旁有A、B两个新村，请你在下图中找到开设餐馆的最佳位置。（即在直线MN上找出一点P，使PA=PB）

例2． 已知：如图，在 ABC中，AB=BC=14cm，DE垂直平分AB交BC于E，AC=6cm，

求 AEC的周长。

∴AE=BE（线段的垂直平分线上的点和

这条线段的两个端点的距离相等）

∴AE+EC=BE+EC=BC（等量代换）

∴AE+EC+AC=BC+AC（等式性质）

即 AEC的周长=BC+AC

∵BC=14cm，AC=6cm（已知）

∴ AEC的周长=20 cm

[电脑演示]：我们把例题的图形经过变化可以得到练习4、练习5和回家作业4的图形，观察两个图形，找到它们的共同点和区别。练习5的图形中缺了BE这条线段，学生通过观察可以找到添加辅助线的方法，进而解决难题。

练习4.如图，已知Rt ABC中，∠ACB= ，斜边AB

上的垂直平分线DE交直角边BC于E，若BC=8cm，

AC=6cm，求(1) AEC的周长，(2)如果∠B= ，

则∠EAC=             度，为什么？

练习5.如图，已知 ABC中，∠C= ，∠A= ，

DE

三．小结：请学生把通过这节课的学习，掌握了那些知识，受到了那些启发

讲一讲。

四．布置作业：完成练习纸上的回家作业。

五．课后小结：

1．强调定理和逆定理的题设和结论，通过电脑显示出来，加深学生的映象。

2．“线段的垂直平分线可以看作是和这条线段的两个端点的距离相等的点的集合”可以通过点P在线段中垂线上的移动来说明，强调所有点，给学生初步的轨迹的形象。

3．分析题目时，应引导学生通过对已知条件的分析可以得出哪些相关结论并结合求证来找到解题途径。