“再创造”在小学数学概念形成中的运用

“再创造”

在小学数学概念形成中的运用

数学教育的价值并非单纯地通过积累数学事实来实现，它更多地通过对重要的数学思想数学方法的领悟、对数学活动经验的条理化，对数学知识的自我组织等活动来实现，因此，学生数学学习的过程可以说是一种再创造过程。

    概念形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程。“再创造”教学策略的实施，强调以概念形成掌握概念，即让学生从大量的具体实例出发，辨别、抽象、分化、提出假设、检验、修正以及概括，最后用符合习惯用法的数学语言符号去代替这个新概念的内容。

    一、从“现实数学”中提炼数学问题

    对于小学生而言，“现实数学”主要是指特定生活环境下丰富的日常生活体验和现实知识积累。这其中包含着大量的数学活动经验。

    数学概念作为具有概括性、抽象性、精确性等特征的科学概念，在概念形成过程中，需要以学生头脑中已有的某些自发性概念(日常概念)的具体性、特殊性成分依托，从中寻找出它的理论逻辑性，使之能借助经验事实，变得容易理解。小学数学中许多概念，特别是一些基本概念，与现实生活有着不可分割的联系。因此，在新概念引入时，要注意利用学生自己在日常生活中的经验或事实，也可以由教师提供有代表性的典型事例，使他们身处现实问题情境中，通过亲身体验，在感性认识的基础上，借助于分析，比较，综合．抽象，概括等思维活动．对常识性材料进行精微化，自主提炼成现实数学问题：

    例一，小数的意义教学

    课前发动学生去超市、商店收集不同的商品价格(注意观察商标标价)，课卜创设社会实践活动帮助商店做商品商标情景。从中学生发现用元作单位的标价与实际用元、角、分购物之间的联系。这种联系的揭示，其实是学生分析、比较，抽象、概括等思维活动的结果。再引导学生运用初步分数知识来剖析这种联系。从而，学生完全体验到分数与小数两者的内在本质关系，也借助于分数意义来认识小数的本质特征，对小数的由来、小数的意义的确立赋予了丰富的现实意义。

    例二，循环小数教学

    循环小数是一个数的小数部分，如果从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现。小学教材中，循环小数常常安排在小数除法部分。有限小数除法教学，给学生辨析循环小数打下基础。教师的任务只要是让学生捣受“永远除不尽”，认识商位数的无限位。在教学中，我们应该在同一视角揭示“能除尽”与”永远除不尽”两种本质属性。在概念引入时，设计男女生分组比赛，男生组题目：①21．305÷5②23÷8  女生组题目：①21．45÷15②14．2÷22比赛中让学生体验“水远除不尽”的属性。这样，学生能主动建构新知识，理解新知识。

    二、将学生带入问题中揭示概念形成过程

数学活动的核心是问题。丰富学生在概念学习过程中的体验，将数学概念的形成过程、形式化的数学概念及一些相关的材料转化为富有现实生活意义的问题情境，从而把学生带人问题中，让学生在问题的探索中构建概念的心理表征。具体有两种教学策略。

    教学策略1，把数学概念的生成过程问题化。从课程目标看，概念的由来，概念的必要性，概念的应用性，应该是概念教学的目标。概念生成过程中的请问题，往往也是区分概念本质特征与非本质特征的关键所在。因此，在教学中应尽可能把概念展示过程转化为一系列带有探究性的问题，真正让学生在现实生活和已有知识基础上展开“火热的思考”，在自主递进式的问题解决中揭示概念的形成过程。

    例三，千米的认识

    师：你们过去在哪儿见过千米这个词呢，关于千米你都知道些什么?(大家纷纷举手，很踊跃)

    生1：我坐汽车时看到仪表上写上千米这个词。

    生2：我听大人说1公里就是1千米，为什么不叫公里呢?

    生3：出租车上每公里1元，是不是说行驶1千米要交1元钱?

    生4：说河流有多长时都用千米做单位．我想千米就该是长度单位吧!

    生5：千米与米有什么关系呢?1000米就是1千米吗?

    生6：坐火车时，我听爸爸说火车每小时行驶60公里，现在我知道了火车1小时行驶60千米。

    生7：我们量教室的长度都说几米几米的，可要是量安阳市到北京有多远。还用米来量就太麻烦了，所以人们就发明了千米。

    至此，学生明白了千米在生活中应用很广泛，也知道了度量很远距离时要用千米作单位。

    生8：米用字母m表示，克用字母g表示，千克用字母kg表示，我想千米是不是该用km表示呢?

    这节课千米的学习，从引入，到建立千米的概念，再到米和千米间的进度以及用字母表示，都是学生在问题解决中自主完成。

    例四，在进行“圆”概念的教学中，“车轮是什么形状的?”这一问题展开，引出如下一系列问题：为什么车轮都做成圆形的呢?能不能做成正方形或三角形之类的?要是把车轮做成椭圆形的呢?能不能做成正方形或三角形之类的?要是把车轮做成椭圆形，车子开起来会怎么样呢?为什么椭圆形轮子的车开起来会一高一低，而圆形车轮的车子开起来就不会一高——低呢？如果做一个最简单的车轮，要注意哪些问题?把圆概念的生成过程问题化，通过这些问题的探讨，达到对圆的本质属性的理解。

教学策略2，把书面化的抽材料转化为蕴涵概念本质特征，贴近学生生活，适合学生探究的问题。

例五，除法的认识，教师提出，二(1)班的同学共做了18朵小红花(实物)，以小组为单位解决以下问题：

    (1)平均送给2个小朋友，每人(  )朵，怎么分?

    口÷口=口(朵)

    (2)平均送给3个小朋友，每人(  )朵。怎么分?

    口÷口=口(朵)

    (3)每5朵扎成一束，可以扎成(  )束，还剩(  )朵，

    口÷口=口(束)……口(朵)

    通过学生动手操作，把学生引向“除法就是分小红花”。通过动手与动脑相结合，把数学拉到学生生活中，使数学变得现实，从而激发学生探求的欲望。同时，在实物一算式建立相互的实质联系。从实物到算式是“形式化”的过程，学生体验除法的意义；从算式运算回到实物解释是“寻找意义”的过程，学生在进一步的除法知识学习时，碰到问题都会寻就原始实物的解释、分析．直至解决问题^④。

    三、引导学生在数学化中分化、概括、形成概念

    数学概念形成的发展过程是一个数学化的过程。通过学生对常识材料(即日常生活经验和已有的知识)进行细致的观察，火热的思考，借助于分析、综合、比较、抽象等思维活动，对常识材料进行去粗取精、去伪存真的精加工，从中舍弃材料的现实意义，抽象出共同的、本质的属性或特征，井区分出有从属关系的关键属性．使新概念勺已有认知结构巾的相关观念分化，用语言概括成概念的定义

    弗赖登塔尔曾经描述一个比和比例的教学设计，一天早晨学生走进教室，发现窗开着，黑板上有个大手印．学生都认为一定是巨人来丁，他们都很惊讶，不知巨人有多高。老师手掌放在巨人的手印上，看上巨人的手比老师的大4倍。学生对老师的身高进行测量，然后他们剪了一根线，是老师高度的4倍，并在黑板上留下一封信，将这根线挂在墙上，表示巨人的高度。根据这段经历，学生开始一系列调查，描述巨人课桌，巨人靴子，特大报纸，特大蛋糕等的长度、面积、体积。从老师与巨人手掌大小关系，建立比的概念；再从手掌关系过渡到身高关系建立比例概念。这样的数学活动，把比和比例的内涵和底插揭示得淋漓尽致：

    四、在概念应用中完善概念意象

    在新概念图式雏形建立的基础上，通过概念的应用完善概念意象，具体说，就是数学概念与实际应用之间多次润色，形成概念意象。可以在二个层面设计应用。(1)通过巩固练习、变式练习等练习行为(具有一定模仿性、探索性、自主发现性)，让新学习的知识得到巩固。这一层面的学习，学生学到了一定的技能，使新学习的知识在应用中体现价值和进一步挖掘新的内涵。(2)按照科学概念的意义从不同侧面设计实际生活问题和综合问题解决。从中体会数学的意义，深化对概念本质属性的理解，增强问题意识，在潜移默化中形成用数学的眼光观察事物、真正把握概念本质属性的能力。这一层面的应用，使学生初步形成的数学认知结构臻于完善，最终形成新的良好认知结构，以求新知识更广泛的应

用。

    例六．角的认识的应用设计

    1．  根据下面各角的度数，分别说出每个角是什么角：

    90^o、56 ^o、91 ^o、89 ^o、1 ^o、179 ^o、180 ^o、20 ^o、360 ^o

    2．(  )时整，时针和分针成直角。(  )时整，时针和分针成平角。

    3．理解某些体育项目中的术语。

    (1)14届亚运会，跳马动作。“李小鹏跳”即前手翻接直体空翻900度。“杨威跳”即后手翻接后空翻转体两周半。

    (2)双杠动作，“挂臂前翻上，接团身后空翻两周。”

    在应用设计中要引入迁移规律，既要有知识正迁移的有效实现，又要有知识负迁移的有效澄清。设计方式是组织系列问题；或是正误辨析，或是错误识别分析理由，或是提供背景材料解决实际问题的练习，或是不循常规的开放式问题，或者仅仅提供问题背景。

    五、概念形成的升华——启发学生“反思”

    要构造自己理解的概念，关键是一种意识上的飞跃，即弗赖登塔尔提出的“数学反思”与皮亚杰提出的“反省抽象”。所谓反思就是自己做了实践性活动，然后脱身出

来，作为一个旁观者来看待自己刚才作了些什么事情，把自己所做的过程置于被自己思考的地位上加以考虑，有意识地了解自身行为后面潜藏的实质．并从中借助自己的数学知识与数学方法归纳出结论。如(5+6)+1=5+(6+1)  (3+9)+1=3+(9+1)等过程，就可抽象出加法结合律。可以说，大部分数学概念的形成都经历了反思的活动，有人或许会问，数学反思只要在归纳结论时用一下。其实不然，数学概念的理解不是一次就能完成，概念形成不是靠几个理想的操作活动(实际操作演算，或是头脑中的操作——思想实验)就能完整概括。我们从“概念的数学化”框架可以看出反思贯穿于概念形成整个过程。我们应该不失时机地培养学生的反思意识。在课堂教学中，或教师提问，或学生自我提问。如，这个知识与以前学的知识有怎样的关系?这些例子其实告诉我们?你(我)是怎么想的?这个知识在哪些地方可以用呢?等问题。