要正确理解符号“≤”的含义

要正确理解符号“≤”的含义

要正确地使用一个数学符号，首先要正确理解它的含义。

“≤”是一个完整的和独立的数学符号，不是两个符号“<”和“=”的合写，它表示左边的数量小于或等于(即不大于)右边数量，读作“小于等于”(“小于或等于”)，也可以记为“≯”，读作“不大于”，如 ≤2( ≯2)，a≤b(a≯b)，R²≤l (R²≯1)等。

上面的关于符号“≤”的定义是清晰和无歧义的，符号“≤”用于数量关系可比、能分清楚小于或等于或大于的场合，是对大于的否定，若︱f (2)︱≤7，则︱f (2)︱不大于8，即︱f (2)︱≤8成立，所以文[3]关于这个问题的看法是对的。文[4]认为从︱f (2)︱≤7推不出︱f (2)︱≤8，说明了文[4]尚不清楚符号“≤”的科学含义。

“≤”是一个常用的数学符号，是基本的数学语言，对于它的错误理解和不正确使用，必然会引起数学上的混乱，如集合D={x︱x≤7}表示所有不大于7的实数的全体，对每个x D，都符合条件x≤7．按照[4]的观点，-l≤7不成立，2≤7也不成立，任何一个小于7的数x都不能写作x≤7，7=7和7<7不同时成立，于是7≤7也不对，那么上面的集合D就只能是空集!文[4]认为“只有在‘<’和‘=’都成立时‘≤’才成立”，对于任何两个实数a和b,关系

a<b, a=b, a>b

中必有—个，也只能有一个成立，“<”和“=”都成立的情况根本不存在，那么也就永远没有a≤b，文[4]也用到“≤”，但那是根据具体情况分别将它作为符号“《”和“＝”使用的，并没有把“≤”作为—个完整的和独立的数学符号使用．所以文[4]关于函数f (x)= 的定义域以及其他几个类似问题的辩驳只能是言不及义．要正确地理解和使用符号“≤”，除了按照科学的定义之外，别无他途．

值得注意的是，对符号“≤”和“≥”理解不准确的现象相当普遍．每当大学新生入校，我们都要给学生重新讲解符号“≤”和“≥”的含义，否则总有一些学生搞不清楚，影响他们大学阶段的数学学习，

我们认为，产生上述问题的原因主要有两个，—是我国的数学教科书没有对符号“≤”给出规范的读法和明确的定义，如果明确规定“≤”的规范读法和含义就是“不大于”，就会从源头上消除人们的误解，因此建议今后的数学教科书对此要有明确的叙述，二是我们的中学数学教育长期以来片面追求解题技巧，忽视数学思维和对数学本质的理解，这除了造成对符号“≤”理解不准确之外，还造成说理不充分，逻辑不清，思维狭隘等一系列的问题，例如有不少人仅证明了对一切x (a，b)都有c<f(x)<d，尚未证明(c，d) {f(x)︱a<x<b}，便断言f(x)在(a，b)上的取值范围为区间(c，d)，混淆了集合的包含与相等这两种不，同的关系．在今后的数学教育改革中，这类。问题也是值得重视和需要认真解决的。